\chapter{BN2002}
\section{模型}
变量模型为，
\[ \underset{N\times 1}{X_t} = \underset{N\times r}{\Lambda^0}\underset{r\times 1}{F_t^0}+\underset{N\times 1}{e_t}\]

数据矩阵为，
\[ \underset{T\times N}{X} = \underset{T\times r}{F^0}\cdot \underset{r\times N}{\Lambda^0}+\underset{T\times N}{e}\]

估计因子和因子载荷的目标函数为，
\begin{align*}
 V(k)=&\min_{\Lambda,F^k}(NT)^{-1}\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^N(X_{it}-\lambda_i^kF_i^k)^2\\
 s.t.\;\; &\Lambda^{k'}\Lambda^k/N = I_k
\end{align*}

变量中的上标$ k $意味着使用了$ k $个因子。该问题的解为
\begin{align*}
\tilde{F}^k = &\sqrt{T}\times \text{the eigenvectors corresponding to the k largest
	eigenvalues of the T×T matrix XX'}\\
\tilde{\Lambda}^{k'}= &(\tilde{F}^{k'}\tilde{F}^k)^{-1}\tilde{F}^{k'}X\hspace{2em}\text{OLS}
\end{align*}

\section{信息准则}
令$ \hat\sigma^2=(NT)^{-1}\sum_{i=1}^N\sum_{t=1}^TE(e_{it})^2 $, 三个信息准则如下，
\begin{align*}
PC_{p1}(k)&=V(k,\hat{F}^k) + k\hat{\sigma}^2\cdot \frac{N+T}{NT}\cdot\ln\left(\frac{NT}{N+T}\right)\\
PC_{p2}(k)&=V(k,\hat{F}^k) + k\hat{\sigma}^2\cdot \frac{N+T}{NT}\cdot\ln C_{NT}^2\\
PC_{p3}(k)&=V(k,\hat{F}^k) + k\hat{\sigma}^2\cdot\frac{\ln C_{NT}^2}{C_{NT}^2}
\end{align*}
其中，$ C_{NT}=\min\{\sqrt{N},\sqrt{T}\} $，实践中,$ \hat\sigma^2 $通常用$ V(kmax,\hat{F}^{kmax}) $替代。

再建议三个信息准则，
\begin{align*}
IC_{p1}(k)&=\ln V(k,\hat{F}^k) + k\cdot \frac{N+T}{NT}\cdot\ln\left(\frac{NT}{N+T}\right)\\
IC_{p2}(k)&=\ln V(k,\hat{F}^k) + k\cdot \frac{N+T}{NT}\cdot\ln C_{NT}^2\\
IC_{p3}(k)&=\ln V(k,\hat{F}^k) + k\cdot\frac{\ln C_{NT}^2}{C_{NT}^2}
\end{align*}

这三个信息准则的好处，不用估算$ \hat{\sigma}^2 $，意即不用依赖$ kmax $，这可能在实践中是非常有用的性质。

其他通常的信息准则：
\begin{align*}
AIC_1(k)& = V(k,\hat{F}^k) + k\hat{\sigma}^2\cdot \frac{2}{T}\\
BIC_1(k)& = V(k,\hat{F}^k) + k\hat{\sigma}^2\cdot \frac{\ln T}{T}\\
AIC_2(k)& = V(k,\hat{F}^k) + k\hat{\sigma}^2\cdot \frac{2}{N}\\
BIC_2(k)& = V(k,\hat{F}^k) + k\hat{\sigma}^2\cdot \frac{\ln N}{N}\\
AIC_3(k)& = V(k,\hat{F}^k) + k\hat{\sigma}^2\cdot 2\cdot \frac{N+T-k}{NT}\\
BIC_3(k)& = V(k,\hat{F}^k) + k\hat{\sigma}^2\cdot \frac{(N+T-k)\cdot \ln (NT)}{NT}
\end{align*}
这几个准则在估计因子个数时通常是不一致的。
